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Isometrische Isomorphie beschreibt in der Funktionalanalysis einen Zusammenhang zwischen zwei unterschiedlichen Räumen, die geometrisch identisch sind.

• Definition

• Beispiele

• Literatur

Zwei normierte Räume ( X , ‖ ‖ ⋅ ⋅ ‖ ‖ X ) {\displaystyle (X,\Vert \cdot \Vert _{X})} und ( Y , ‖ ‖ ⋅ ⋅ ‖ ‖ Y ) {\displaystyle (Y,\Vert \cdot \Vert _{Y})} sind isometrisch isomorph, wenn zwischen ihnen ein Vektorraumisomorphismus T : X → → Y {\displaystyle T:X\rightarrow Y} existiert, der gleichzeitig eine Isometrie ist, also ‖ ‖ T x ‖ ‖ Y = ‖ ‖ x ‖ ‖ X {\displaystyle \Vert Tx\Vert _{Y}=\Vert x\Vert _{X}} erfüllt. Man schreibt dann X ≅ ≅ Y {\displaystyle X\cong Y} .

Dies bedeutet, dass man die Räume eineindeutig miteinander identifizieren und Längenmessungen im einen auf den anderen übertragen kann. Der Operator T {\displaystyle T} übernimmt die Identifizierung von Elementen aus X {\displaystyle X} mit Elementen aus Y . {\displaystyle Y.} Die Isometrie von T {\displaystyle T} sichert die Normerhaltung bei diesem Wechsel. Offenbar ist die Umkehrung T − − 1 {\displaystyle T^{-1}} wieder eine isometrische Isomorphie.

• Jeder separable unendlich-dimensionale Hilbertraum ist isometrisch isomorph zum Raum ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist.

• Zwei Hilberträume sind genau dann isometrisch isomorph, wenn ihre Hilbertraumdimensionen übereinstimmen.

• Jeder normierte Vektorraum ist isometrisch isomorph zu einem Untervektorraum des Raumes ( C ( K ) , ‖ ‖ ⋅ ⋅ ‖ ‖ ∞ ∞ ) {\displaystyle (C(K),\Vert \cdot \Vert _{\infty })} der stetigen Funktionen auf einem geeignet gewählten kompakten topologischen Raum K {\displaystyle K} nach R {\displaystyle \mathbb {R} } mit der Supremumsnorm.

• Nach dem Satz von Banach-Mazur ist jeder separable, normierte Raum isometrisch isomorph zu einem Unterraum des Raums ( C ( [ 0 , 1 ] ) , ‖ ‖ ⋅ ⋅ ‖ ‖ ∞ ∞ ) {\displaystyle (C([0,1]),\Vert \cdot \Vert _{\infty })} der stetigen Funktionen vom Einheitsintervall [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} nach R {\displaystyle \mathbb {R} } mit der Supremumsnorm.

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7